完备。这一时期新编成的比较重要的歌诀有“化零歌”、“归除歌诀”、“撞归诀”、“起一诀”等如朱世杰《算学启蒙》记载有“化零歌”：“一退六二五二留一二五三留一八七五”即116oo625216o125316o1875===.,.,.当时一斤等于十六两这个歌诀就是以斤化两的算法。南宋杨辉也有斤价化两价的歌诀：“一求隔位六二五；二求退位一二五；三求一八七五记”显然朱世杰的歌诀更为顺口易记。《算学启蒙》还记载了36句的“九归”（除数为一位数的除法）歌诀如“二一添作五逢二进一十”“三一三十一三二六十二”等等也比杨辉的九归歌诀简单明确。此外在元代还很流行“归除”在做多位数除法时先“归”后“减”以简化除法运算。贾亨《算法全能集》记有算法歌诀：“唯有归除法更奇将身归了次除之。有归若是无除数起一回将原数施。或值本归归不得撞归之法莫教迟。若还识得中间法算者并无差一厘”其中提到的撞归诀和起一诀也趋于完善。如《丁巨算法》（1355）提到的撞归诀是“二归撞归九十二三归撞归九十三”元末何平子《洋明算法》已将其改为“见二无除作九二见三无除作九三”等等。以上这些口诀与珠算的口诀已经基本相同只不过当时还是用于筹算而已。根据这些口诀作除法时一念口诀便能立即得到商数。在这种情况下只要熟练掌握口诀具体计算本来可以变成相当简便的事情然而当时的计算工具却还是那些不很便于取用的小竹条因此手不应心的矛盾也就是计算工具与计算方法的矛盾显得更加突出了。由于社会经济的展迫切需要改进计算方法和计算工具而筹算口诀的完备已经提供了更为简便的计算方法于是一种崭新的计算工具——珠算盘便应运而生了。

珠算是在我国筹算基础上展起来的它的计算方法吸取了筹算方法尤其是筹算口诀的产生和改进对于从筹算向珠算的演变起了十分重要的作用。至于珠算究竟是什么时候产生又是什么人创造的根据现有史料还不能作出确切的回答。南北朝时期的《数术记遗》中记载了多种记数方法其中的“珠算”并非后世的珠算但是否对珠算的产生有所影响则还须作更深入的研究。有人认为北宋张择端《清明上河图》里画有一个算盘但是原图并不很清楚难以确认是否为珠算盘。元中叶之后的一些文学和戏剧作品中已经提到珠算。元末陶宗仪《辍耕录》记载一条俗谚：“凡纳婢仆初来时曰雷盘珠言不拨自动。稍久日算盘珠言拨之则动。既久曰佛顶珠言终日凝言虽拨亦不动。”1明初刊刻的一本看图识字书《对相四言杂字》有算盘图共十档上二珠下五珠。这是目前现最早的算盘图。书中1陶宗仪：《辍耕录》卷二九。

所绘人物服饰为元代式样由此可知该书原刊于元代。另一方面南宋和元初的著名数学家秦九韶、杨辉、李冶、朱世杰等又都没有提起过珠算。因此珠算大约产生于元中叶以前不太久的时间。总的说来正像我们不能确切说明筹算是什么时候产生又是什么人创造的一样这种情况恰恰说明珠算和筹算都不是哪一个个人创造明的而是社会经济展的产物是广大劳动人民在长期的生产活动和日常生活中根据实际需要创造出来并逐渐加以改进和完善的。珠算盘和珠算术的明是我国古代劳动人民作出的一项意义重大、影响深远的突出贡献。

第七节中国与伊斯兰国家的数学交流中国和伊斯兰国家的接触很早的时候就已开始在宋元时期有了更进一步的展。在数学方面见于记载最早对于欧几里得《几何原本》有所研究的人是成吉思汗之孙蒙哥。《多桑蒙古史》称：“成吉思汗系诸王以蒙哥皇帝较有学识彼知解说eunetbsp;之若干图式。”1蒙哥是通过《几何原本》的阿拉伯文译本而了解古希腊数学的。1271年元世祖忽必烈下令在上都设立回回司天台由著名天文学家波斯人札马鲁丁领导。回回司天台的主要任务是编制回历供我国信仰伊斯兰教的民族使用。明朝钦天监中仍设有回回科直到清康熙时才撤销专门编制回历的机构前后共设置四百余年。在这一时期伊斯兰国家的天文数学知识6续传入我国。据元朝王士点、商企翁著《秘书监志》记载当时回回司天台曾收藏有多种阿拉伯文数学书籍如：兀忽列的四擘算法段数十五部罕里窟允解算法段目三部撤唯那罕答昔牙诸般算法段目并仪式十七部呵些必牙诸般算法八部等。有些学者认为“兀忽列的”就是eunetbsp;的音译因此欧几里得《几何原本》15卷已在元代传入我国2。后三种著作中“罕答昔牙”意为几何学“呵些必牙”意为算法但究竟具体是哪些数学著作还有待于进一步的考证。元朝时阿拉伯数码也曾传入我国。1956年在西安市郊元朝安西王府旧址掘出五块铁板上面都刻画有用东阿拉伯数码表示的六行纵横图（亦称幻方同行、同列及同一对角线上的数字之和均为111见下图）。这类铁板可能是王府人员作为驱魔避邪用的器物。198o年上海浦东6家嘴又出土一枚可佩戴的玉挂上面刻有四行纵横图所用数字亦为东阿拉伯数码3。但是这种阿拉伯数码并没有被当时的人们所广泛使用至于其纵横图的来源则尚无人研究。在明西安出土的铁板刻文及据以译出的现代纵横图代的一些著作中还介绍了在伊斯兰国家通行的“土盘算法”“格子算”（又称“铺地锦”）球面三角法和角度的六十进制等。但总的来说中世纪阿拉伯数学在中国的影响远不如它对欧洲数学所产生的巨大影响。

在阿拉伯数学传入中国的同时中国数学自然也会传入伊斯兰国家。十三世纪中叶蒙古军队西进占领巴格达之后旭烈兀汗建立了马拉盖（今属伊朗）天文台并任命著名天文学家和数学家纳拉丁·图西主持工作编制了著名的《伊儿汗历表》。这个天文台拥有四名中国天文学家据记载“旭烈兀汗曾自中国携有中国天文学家数人至波斯其中最著名者为faomoun-dji博士即当时人称为先生（singsing）者是已。纳剌丁之能知中国