明确指出公式中各项系数恰好是p=123.时的三角垛求和公式。上述插值公式在中国数学史上一般称为“招差术”其用途并不仅仅限于内插法。招差术与垛积术是密切相关的这两者可以互相推演。朱世杰掌握了三角垛公式因而易于推导出一般的内插公式。相反地利用招差术也可解决高阶等差级数的求和问题。因此朱世杰的垛积招差术将宋元数学家在这方面的研究成果推进到了更加完善的地步。在欧洲对招差术先加以讨论的是英国数学家j.格雷戈里（y167o）。此后不久牛顿得到了现在通称牛顿插值公式的一般结果。牛顿插值公式在现代数学和天文学计算中仍然起着重要的作用。朱世杰所现的公式与牛顿插值公式在形式上和实质上都是完全一致的而后者要晚三百多年。招差术的创立、展和应用是中国数学史和天文学史上具有世界意义的重大成就。

第四节弧矢割圆术和球面三角法古希腊、印度和阿拉伯国家的数学家和天文学家从很早的时候起就创用了球面三角法用来解决天文学方面的计算问题。隋唐之际印度天文学开始传入我国如《开元占经》所收《九执历》中曾介绍过印度的正弦表但球面三角法基本上没有引起中国数学家和天文学家的重视。

沈括在《梦溪笔谈》中创“会圆术”把割圆术方法应用于推算弧、弦、矢的关系提出了一个由弓形中弦和矢的长度来求弧长的近似公式。他的结果相当于公式：其中为弧长为相s=netbsp;netbsp;为相应矢长d为圆的直径。王恂、郭守敬在《授时历》中根据相似三角形相应各线段成比例的关系并反复应用沈括“会圆术”创立了一种推算“赤道积度”和“赤道内外度”（即已知太阳的黄经度数求其赤经度数和赤纬度数）的新算法。这种新算法常被称为“弧矢割圆术”它与球面三角学中求解球面直角三角形的方法是类同的。在推算过程中他们还得到了一些新的关系式。这些关系式相当于下列的球面三角公式：sina=sinnetnetnetbsp;netbsp;netbsp;netbsp;2222aaa其中netbsp;为赤经a为赤纬a为黄赤交角。由于当时用于天文计算的中国传统代数学方法并不逊色并且会圆术公式误差很大采用圆周率π=3入算误差也很大所得结果并不精确所以王恂、郭守敬虽然开辟了通向球面三角学的途径但他们所引入的新方法并没有能够展起来。一直到十七世纪进行历法改革时由《崇祯历书》等引进西方数学之后球面三角法才在天文计算等方面得到了广泛的应用。

第五节中国数码和零的符号中国古代演算用算筹记录数量用一、二、三、四、十、百、千、万等汉字这是比较简明方便的。因此虽然商周甲骨、金文和秦汉简牍中曾出现一些按照算筹形象描绘下来的记数符号但在很长时期内并未形成一套完整的用于记数和演算的数码。

由于社会和数学本身展的需要唐代已开始用数码记数宋元时期的数码已较完善而且其使用也更加普遍。现存最早记有数码的著作是唐代敦示36、1o8、126等其数码完全摹仿算筹摆放形式用空位表示零记数法也与筹算记数原则相同但笔划长短不等不如算筹记数那样整齐。北宋时尚未出现“o”号。

在十三世纪中国数学有了高度的展有些数学方法如高次方程数值解法等的演算程序比较复杂仅仅依靠文字说明难以讲清楚因此一些数学家便把解题过程的算草详细记录下来并写入其数学专著于是出现了较完整的中国数码。如南宋秦九韶《数书九章》和杨辉数学著作所用的数码是：筹记数法中一条横线或竖线代表五。金元时期李冶《测圆海镜》和《益古演段》、朱世杰《四元玉鉴》和《算学启蒙》在论述天元术时所用的数码则完全采用了算筹记数中九个基数的写法但笔画长短不齐并添设了一个零号“o”：零的符号在一套完整的数码中是必不可少的并且在数学中有重要的意义。有人认为中国数码中的零号是外国传来的其实并非如此。印度数码和阿拉伯数码早年曾传入我国如唐代天文学家瞿昙悉达在《开元占经》中曾介绍印度数码其中用一个圆点作为零号表示空位元代安西王府所藏铁制纵横图其数字均为阿拉伯数码其中也有“o”号但这些数码当时并未为我国学者所采用。中国数码中的零号是宋元时期我国数学家和天文学家自己创造的。新旧《唐书》、《宋史》等所载各家历法曾用“空”字表示天文数据的空位。为了避免误解宋代学者又仿照古代用方框“□”表示脱落文字的习惯用“□”来表示数据中的空位如南宋蔡沈《律吕新书》将林钟律管的律数118o98记作“林钟十一万八千□□九十八”将南吕律管的律数1o4976记作“南吕十□万四千九百七十六”等。后来为了书写方便方框“□”顺笔写成了圆圈“o”于是形成了中国数码中的零码。现在已知最早使用“o”表示空位的是金《大明历》其中有“三百o九”、“五百o五”、“二千o七”等等但《大明历》使用更多的仍是“空”字。直到宋元四大数学家的著作中才普遍使用了零码。

明代以后珠算术逐渐推广为区分算筹记数位数而采用的纵横相间制已无实际意义因而在需要用数码记数时除表示123的数码仍兼用纵横二式以防混淆外其他数码都单用南宋数码的横式明程大位《算法统宗》称之为“暗码”。后来暗码中很长时间的商用暗码（又称苏州码）：清末学制改革设立了新式学堂各地还有许多教会学校大多采用新编译的数学课本现在通用的印度-阿拉伯数码才逐渐传播开来。

第六节筹算歌诀的完备和珠算的明唐宋时期对于实用算术的研究是一个相当活跃的领域不少人积极从事筹算算法的改进尤其是筹算乘除法的简化工作并取得了一些重要的进展。如把筹算乘除需要摆放三层的摆法简化为在一个横列里演算提出了求一、上驱、搭因、重因、增成、身外加减、损乘、九归等等筹算乘除捷法并且其中一些方法还被编成容易上口和便于记忆的歌诀形式。到了元代这种简化筹算乘除法的歌诀经过不断改进而更加简练和