矣。四方之来学者日众先生遂明《九章》之妙以淑后学。为书三卷名曰《四元玉鉴》”由此可见朱世杰当时已是声名卓著的数学家和教育家。所著《算学启蒙》3卷内容包括常用数据、度量衡和田亩面积单位的换算、筹算四则运算法则、筹算简法、分数、比例、面积、体积、盈不足术、高阶等差级数求和、数字方程解法、线性方程组解法、天元术等是一部较全面的数学启蒙书籍。《数学启蒙》曾传入朝鲜和日本产生了一定的影响。这部书清代刻印所依据的是朝鲜翻刻本。朱世杰的代表作《四元玉鉴》记载了他所创造的高次方程组的建立与求解方法（四元术）以及他在高阶等差级数求和（垛积术）、高阶内插法（招差术）等方面的重要成就。美国科学史家乔治·萨顿（）在他的名著《科学史导论》中指出：《四元玉鉴》是“中国数学著作中最重要的一部同时也是中世纪最杰出的数学著作之一”。除李冶、朱世杰外赡思《河防通议》中也有天元术在水利工程方面的应用。
天元术是利用未知数列方程的一般方法与现在代数学中列方程的方法基本一致但写法不同。它先要“立天元一为某某”相当于“设x为某某”再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式。然后通过类似合并同类项的过程得出一个一端为零的方程。天元术的表示方法不完全一致按照李冶的记法方程aoxn+a1xn-1.+an-1x+an=o可写成如下形式：表示方程各项系数均为筹算数码在常数项旁边记一“太”字（或在一次项旁边记一“元”字）“太”或“元”向上每层减少一次幂向下每层增加一次幂。方程列出后再按增乘开方法求正实根。天元术的出现提供了列方程的统一方法其步骤要比阿拉伯数学家的代数学进步得多。而在欧洲只是到了十六世纪才做到这一点。此外宋代创立的增乘开方法又简化了求解数字高次方程正根的运算过程。因此在这一时期列方程和解方程都有了简单明确的方法和程式中国古典代数学展到了比较完备的阶段。不仅如此继天元术之后数学家又很快把这种方法推广到多元高次方程组如李德载《两仪群英集臻》有天、地二元刘大鉴《乾坤括囊》有天、地、人三元等最后又由朱世杰创立了四元术。“四元术”是多元高次方程组的建立和求解方法。朱世杰在《四元玉鉴》中用天、地、人、物代表四个未知数然后根据已知条件推导出四元（或者二元、三元）高次方程组。这个方程组的表示方法是将其各项系数摆成一个方阵其中常数项右侧仍记一“太”字四个未知数一次项的系数分置于常数项的上下左右高次项系数则按幂次逐一向外扩展各行列交叉处分别表示相应未知数各次幂的乘积。解这个用方阵表示的方程组时要运用消元法经过方程变换（实际上也就是矩阵变换）逐步化成一个一元高次方程再用增乘开方法求出正根。在欧洲直到十八世纪法国数学家贝佐（é）才对多元高次方程组的消元法作了系统的研究。另一方面磌xs51.com从四元术的表示法来看这种方阵形式不仅运算繁难而且难以表示含有四个以上未知数的方程组带有很大的局限性。因此中国代数学在这一时期确实展到了顶峰如果要再前进一步那就需要另辟蹊径突破新的难关了。后来清代的代数学的进展是通过汪莱、李锐等对于方程理论的深入研究和引进西方数学这两条途径来实现的。
第二节垛积术对于一般等差数列和等比数列我国古代很早就有了初步的研究成果。
北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中创“隙积术”开始研究某种物品（如酒坛、圆球、棋子等）按一定规律堆积起来求其总数问题即高阶等差级数求和问题并推算出长方台垛公式。南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中丰富和展了沈括的隙积术成果提出了一些新的垛积公式。沈括、杨辉等所讨论的级数与一般等差级数不同前后两项之差并不相等但是逐项差数之差或者高次差相等。对这类高阶等差级数的研究在杨辉之后一般称为“垛积术”。朱世杰对于垛积术作了进一步的研究并得到一系列重要的高阶等差级数求和公式这是元代数学的又一项突出成就。例如朱世杰在《四元玉鉴》中提出了著名的三角垛公式：112111112prrrrprnpnnnnp!!+++-=.=++++ll其中p=1234。在这一串三角垛公式中后式恰好是把前式结果作为一般项的新级数的求和公式。又如岚峰形垛公式：11211121211prrrrprrnpnnnnppn!![]+++-=.=++++++ll·也是很精彩有趣的。他还研究了更复杂的垛积公式及其在各种问题中的实际应用。总结和归纳出这些公式并不是一件轻而易举的事情是有相当难度的。朱世杰究竟如何得到这些公式由于史料缺载至今尚不清楚。朱世杰《四元玉鉴》所载“古法开七乘方图”比杨辉所引贾宪“开方作法本源图”（贾宪三角）多出了平行于两斜边的许多斜线有些学者推测从这些斜线相连的数字关系可以得出一些有意义的结论其中包括推导出某些垛积公式1。1杜石然：《朱世杰研究》载《宋元数学史论文集》科学出版社1966年版。第三节招差术招差术即高次内插法是现代计算数学中一种常用的插值方法。在中国古代天文学中早已应用了一次内插法隋唐时期又创立了等间距和不等间距二次内插法用以计算日月五星的视行度数。但是太阳等天体的视运动并不是时间的二次函数因此仅用二次内插公式推算的结果仍不够精确。唐代天文学家一行已经注意到这个问题并列出一个包括三差的表格。由于当时数学水平所限一行还没有能够给出正确的三次差内插公式。元代天文学家和数学家王恂、郭守敬在所编制的《授时历》中为精确推算日月五星运行的度和位置根据“平、定、立”三差创用三次差内插公式这在数学上是重要的创新同时也把天文历法的计算工作推进了一大步。朱世杰对于这类插值问题作了更深入的研究。他在《四元玉鉴》中成功地把高阶等差级数方面的研究成果运用于内插法得到了一般的插值公式：fnnnnnnn!!,=+=+——+△△△121131223l并且