重大现它在数学的许多领域都有极其重要的应用。15世纪中亚数学家阿尔·卡西（a1—kashi）也曾给出二项式定理系数表此后这张图表又被德国数学家阿皮安努斯（1527）施蒂费尔（fe11544）意大利数学家塔尔塔利亚（1ia1556）和法国数学家帕斯卡（bsp;古法七乘方图讨论过并被西方数学家称为“帕斯卡三角”但这些数学家都比11世纪的贾宪晚很多年才获得这一成果。

杨辉《九章算法纂类》还载有贾宪立成释锁开平方法和开立方法。“立成”是唐以后天文学家对推算各种数据时所用数表的通称“释锁”在宋元数学家著作中则指开方和解数字方程。因此贾宪的立成释锁法应是利用一种数表来解决开平方、开立方乃至开高次方问题的方法而这种数表很可能就是他提出的开方作法本源图。但据《九章算法纂类》所载其演算步骤则与《九章算术》少广章开平方术和开立方术基本相同。

第二节增乘开方法贾宪的又一重要数学成就是根据开方作法本源图的构造原理创造了增乘开方法。用这种方法开平方和开立方要比《九章算术》少广章的方法简便得多并且其运算原则可以推广到求任何高次幂和高次方程正实根的近似值。贾宪用此法解决了求x2＝ax4＝a等的近似值问题。在宋代有不少数学家对解方程问题进行研究。如据杨辉《田亩比类乘除捷法》所载刘益在《议古根源》（全书已佚杨辉书收有其二十多个算题）中提出了“正负开方术”所论方程系数可正可负取消了以前对方程系数只允许为正整数的限制并讨论了x2-ax＝a和-x2＋ax＝a（a＞oa＞o）的数值解法把方程论（包括增乘开方法）推进了重要的一步。但是总的说来这些工作属于初创还不够完整和系统。

南宋数学家秦九韶创造性地继承和展了前人的先进成就提出了一套完整的正负开方术程序成功地将增乘开方法运用于求一般高次方程：aoxn＋a1xn-1＋a2xn-2＋.an-1x＋an＝o（an＜oao≠o）

的数值解。他在《数书九章》中列举了二十多个解方程问题次数最高达十次；除一般方法外还讨论了“投胎”、“换骨”、“玲珑”、“同体连枝”1见中华书局影印本《永乐大典》卷16344所收杨辉《详解（九章）算法》。等特殊情形；并将其方法广泛应用于面积、体积、测量等方面的实际问题从而在高次方程数值解法问题上达到了当时世界数学的最高水平。

增乘开方法的特点是在演算过程中自下而上随乘随加求出各项系数进行方程变换逐步求出方程正根的各位数字其演算程序具有很强的机械性可以毫无困难地转化为计算机程序。在西方关于高次方程数值解法的探讨经历了漫长的历史过程直到18o4年意大利数学家鲁非尼（ffini）才创立了一种逐次近似法用以解决数字高次方程解的近似值问题并为此获得了意大利科学协会颁的金质奖章而在1819年英国数学家霍纳（.）才提出与增乘开方法演算步骤基本一致的算法后被称为“霍纳法”。但是他们已经比秦九韶晚了五百多年并且其原始方法也没有秦九韶法简捷明确。在现代一些计算数学著作中已将这种高次方程数值解法改称“秦九韶法”。

第三节大衍求一术大衍求一术是中国古代数学家用于解决一次同余组问题的方法。这类问题与历法中关于“上元积年”的推算有着密切的关系。在中国古代天文学家们假定远古时有一年的十一月初一甲子日夜半又恰好是合朔和那一年的冬至并把这一时刻定为历法计算的称为“历元”。从该年到编历年所经过的总年数就叫做“上元积年”。已知编历年实测冬至时刻和十一月初一合朔时刻推算上元积年就是求解一次同余组问题。西汉历法中已有上元积年的数据但没有算法的记载。由于当时问题比较简单所以其算法也不会太难。南北朝时期《孙子算经》中的“物不知数问题”（亦称“孙子问题”）是最早见于中国数学文献的一次同余组问题但其解法很不完备。随着天文历法的展天文学家对历元又提出了“日月合璧五星联珠”等要求于是推算上元积年的条件更为复杂求解有关同余组也就需要更高的技巧。显然从两汉到宋朝的千余年中一定会有很多天文学家和数学家曾研究并很熟悉一次同余组的解法但可惜的是在有关文献中除一些数据外却没有更多的记载。南宋数学家秦九韶系统地总结和展了前人的贡献在《数书九章》中创立“大衍求一术”提出关于一次同余组问题的相当完整的理论和算法并且推广其应用范围取得了举世公认的杰出成就。他所著的《数书九章》曾称《数学大略》、《数学九章》全书18卷分9类每类9题共81个应用问题其内容涉及天文历法、土地面积、勾股测量、建筑工程、田赋户税、商业贸易、货币金融、军事活动等丰富内容是一部可与《九章算术》相媲美的数学名著。

《数书九章》所载大衍求一术的大意是设要求解一次同余组：x≡ri（modmi）（其中i＝）

秦九韶把求最小正整数x的问题归结为求出一组数ki使之满足条件：kimmi≡1（modmi）（i＝）

其中m＝m1·m2·.·mnki称为“乘率”。于是一次同余组的最小正整数解x=（r1k1mm1＋r2k2mm2＋.＋rnknmmn）—pm（p为非负整数）

这就是现在数论中著名的“孙子定理”。秦九韶详细论述了用辗转相除推算ki的方法由于运算的最后一步要出现余数1因而称为“求一术”。他又进一步将其与《易经·系辞》中的“大衍之数”附会起来而称之为“大衍求一术”（现在一般通指一次同余组解法）。此外他还分别讨论了模数m1、m2、.、mn两两互素和不互素的情形并给出了相应的变换方法。在欧洲直到18、19世纪著名数学家欧拉（1er1743）和高斯（c.18o1）等才对一般同余组解法进行了深入研究获得与秦九韶相同的结果并且对模数两两互素的情形给出了严格的证明。这已经是秦九韶以后5oo年的事情了。在数学史上上述定理过去称为“中国剩余定理”现多改称“孙子剩余定理”或“孙子定理”。

第四节垛积术在中国古代对于一般等差数列和等比数列很早就有了初步的研究成果如《九章算术》、《张丘建算经》等都提出了一些有关等差级数求公差及求和的公式。北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中又创“隙积术”开始研究某种物品（如酒坛、圆球、棋