弧矢割圆术天文学上有所谓黄道坐标赤道坐标、白道坐标等等的球面坐标系统。现代天文学家运用球面三角学可以很容易地将一个坐标系统中的数据换算到另一个系统中去。中国古代没有球面三角学古人是采用近似的代数计算方法来解决问题的。《授时历》采用的弧矢割圆术将各种球面上的弧段投射到某个平面上利用传统的勾股公式求解这些投影线段之间的关系。再利用宋代沈括明的会圆术公式由线段反求出弧段长股关系的方法是完全准确的。它们与现今的球面三角学公式在本质上是一致的2王恂卒于至元十八年。许衡于至元十七年告病辞归次年卒。杨恭懿至元十八年辞归后即不再返回朝廷。张文谦于至元十九年拜枢密副使次年病故。张易于至元十九年受他人案件的株连而被处死等等。1。

以上这些计算方法上的成就主要应当归功于王恂但是其他学者也为此付出了劳动。特别由于郭守敬是《授时历》的最后整理定稿者使这些突出的天文学、数学成就得彰后世故其功不可没。

水利工程上的成就郭守敬生平的第二项事业是水利。其中最主要的有二项工程：修复西夏水利和开凿通惠河。

1.修复西夏水利所谓西夏水利是指西夏国都兴庆府（今宁夏回族自治区府银川市）一带黄河两岸的水利设施。

这一带早在秦汉时起就6续开凿了许多河渠引黄河水灌溉由此构成一张水渠网成为西北地区重要的粮仓。但在元朝开国前历年征战严重毁坏了原有水利设施使此地九万多顷良田荒芜人民常年处于饥饿之中。郭守敬的有关修复水利工作主要据齐履谦的记述1。

郭守敬对原有的十二条正渠六十八条大小支渠“因旧谋新更立牐堰。役不逾时而渠皆通利”。整修原有的渠道使之焕然一新原有已损毁的牐堰也修补更新。总之这项工程大抵是因旧整修即令有新渠开挖、新牐堰的建立也不会很多。所以全部工程才能“役不逾时”干了不到一个季度“渠皆通利”。当然这也是因为涉及千百万人的生计大事上、下均望其成。投入和工效一定都是极高的。此事的成功对郭守敬来说在于他有组织大型工程的才能干的是造福人民的大好事因而人民才会在渠上给他立生祠。

2.通惠河的开挖元世祖把都定在大都（今北京）。为了供养大都臣民的生活保证帝王、贵族们的享用许多物资都要从南方运来其中粮食每年需要从南方征运数百万斤之巨。在金代就利用华北平原上的天然水道与自隋唐以来6续开挖修建的南方运河相连网建立了一个水上运输系统从南方往金朝中都（今北京）运送粮食。由于自然条件的限制这个系统的终点不是在大都而是在京东的通州。通州距离金中都和后来的元大都还有好几十里路。这一段路程就只能依靠6运。而6路运输的成本很高并且一到雨季道路泥泞难行牲口倒毙粮车陷在泥中运输效率极低。因此自金朝起人们就力图开凿一条从通州直达京城的运河以解决运粮问题。

通州地势低于大都。开运河只能从大都引水流往通州沿途筑一系列牐坝使南来的船逐级上驶。这样就必须在大都城周围寻找水源以保证运河的水量。大都城郊有西北方的高粱河西南方的凉水河其水量都很小不敷运河的用水。大都城北几十里处有清河和沙河虽有一定水量却因地形自然流向东南成为通向通州的温榆河的上游。大都城西几十里的浑河（今称永定河）水量在当时是相当大的。金朝时曾从京西石景山北面的西1钱宝琮：《授时历法略论》文中专有一节讨论弧矢割圆法见《天文学报》四卷二期1956年12月；收入《钱宝琮科学史论文选集》科学出版社1983年版。

1齐履谦：《知太史院事郭公行状》《元文类》卷五o。

麻峪村开了一条运河经过中都注入通州城东的白河。但因浑河中泥沙极多运河很快淤积；加之夏、秋洪水季节浑河水极其汹涌极易泛滥对运河两岸造成威胁。所以开凿了十五年之后又复把运河上游的口子填塞了。这个使命最终落到了郭守敬的身上。而郭守敬也不是一举成功的。

由于金朝开挖的运河正流经大都城墙的南面。以下往东到通州的一段完全可以利用因此所需解决的只是上游的水源。

早在元世祖中统三年（1262）郭守敬初见忽必烈时所提的六项水利工程计划中第一项提的就是此事。他计划把清河的上源中从玉泉山涌出后东流经瓮山（今万寿山）南面的瓮山泊（今昆明湖的前身）再向东的那一支流改道向南注入高粱河再进入运河。这项计划曾经实施。但因只是一泉之水只能用于增加大都城内湖池宫苑的用水量对航运则无裨益。

三年以后他从西夏回来又提出了修运河的第二个方案。这个方案是利用金人所开浑河的口子只是另在金人运河的上游开一道分水河引回浑河。当河水暴涨危及下游时就开放分水河闸口解除对大都城的威胁。同时考虑到浑河水携来的泥沙问题他撤去了运河上的闸坝以使泥沙自然运走。这种设想固然有其道理但大都到通州运河段的水位下降梯度虽比大都以上的运河段梯度较小却仍然是相当大的没有闸坝控制巨大的粮船就无法逆流而上。因此这个方案在至元十三年（1276）实施完成以后只对运河两岸的农田灌溉及放送西山砍伐木料的作业有所帮助。

此后郭守敬总结了两个方案失败的教训并在大都周围仔细地勘测水文和地形起伏情况。只是由于他又被调去修历才把此事搁下了。

至元二十八年（1291）有人建议利用滦河和浑河溯流而上作为向上都运粮的渠道。元世祖不能决断。派太史令郭守敬去实地勘查。郭守敬探测到中途就已现这些建议不切实际。他乘着报告调查结果的机会提出了许多新建议。其中第一个就是他已筹划多年的大都运河新方案。

这个方案利用他第一次方案中凿成的把瓮山泊流出的一支