构设有太史局。因此，天资聪颖、求知若渴的秦九韶有机会阅读大量典籍，熟悉建筑、修造、治河等方面的土木工程知识，并向他父亲的属官中负责测验天文、考定历法的学者们学习天文历法知识。他后来在《数书九章》序中说“早岁侍亲中都，因得访习于太史”，即指这段时间的事。秦九韶又曾向“隐君子”学习数学。他还向著名词人李刘学习骈骊诗词。通过这一时期的学习，秦九韶的学识日趋渊博。周密在《癸辛杂识续集》中称他“性极机巧，星象、音律、算术，以至营造等事，无不精究”，“游戏、毬、马、弓、剑，莫不能知”。

宝庆元年（225）六月，秦季槱被任命为潼川（今四川三台）知府，七月赴任。秦九韶于是随父回到四川。次年正月十二日，秦氏父子来到涪州（今重庆涪陵），与涪州守李踽及其两个儿子同游，观赏长江石鱼，并刻石题名，后为姚觐光收入《涪州石鱼文字所见录》，成为一则重要史料。

在潼川，秦九韶曾当过县尉。这期间，李刘曾邀请他到国史院校勘书籍文献，但未成行。

端平三年（23），元兵攻入四川，嘉陵江流域兵祸不断，秦九韶不得不经常参与军事活动，饱受战争之苦。他后来在《数书九章》序中回忆道“际时狄患，历岁遥塞，不自意全于矢石间，尝险罹忧，荏苒十祀，心槁气落。”数年后，秦九韶被迫再次离川，往东南避难。先后担任过蕲州（今湖北蕲春）通判及和州（安徽和县）守，最后定居湖州（今属浙江）。有史料记载，秦九韶是个自私、专横和唯利是图的人，抑或战争改变了他的天性。与他同时代的刘克庄在《缴秦九韶知临江军奏状》中说他“倅蕲妄作，几激军变；守和贩鹾，抑卖于民”。周密说他“既出东南，多交豪富”；在湖州的住家，建堂于苕水之上，“极其宏敞，后为列屋以处秀姬，管弦、制乐、度曲，皆极精妙，用度无算”。非利用职权中饱私囊者，岂能如此奢华？淳祐四年（244）八月，秦九韶以通直郎为建康府（今江苏南京）通判，十一月，因母丧离任，回湖州守孝。在此期间，秦九韶可谓“无丝竹之乱耳，无案牍之劳形”，专心学问，埋头著书。淳祐七年（247）九月，完成数学名著《数书九章》。由于在天文历法上的造诣，次年他被推荐到朝廷，受到皇帝召见，因而得以阐述自己的见解，并呈上他的奏稿及《数学大略》（即《数书九章》）书稿。

孝满书成后的秦九韶不甘寂寞，又开始向往功名利禄。淳祐十年（250），他往投吴潜幕。吴潜（9—22），号履斋，南宋重臣，主战派首领。秦九韶与吴潜很有交情，他在湖州的居家即从吴处得到的地皮。宝祐二年（254），秦九韶到建康，任沿江制置司参议，但不久去职，回湖州家居。此后，他去扬州攀附当朝权臣贾似道。宝祐六年（258）正月，贾似道荐秦九韶于广帅李曾伯，时逢琼州守阙，于是李曾伯便命其暂任琼州守，但三个月后被免职。刘克庄说秦九韶“到郡（琼州）仅百日许，郡人莫不厌其贪暴，作卒哭歌以快其去”。周密则说他“至郡数月，罢归，所携甚富”。离琼州回湖州后，秦九韶又投奔吴潜，得荐，开庆元年（259）任司农寺丞，因不满贾似道专权，被罢。景定元年（20），又任命为知临江军（今江西清江），再次遭罢。不久，吴潜罢相，被贬潮州。秦九韶受到株连，也贬梅州（今广东梅县）做地方官，他“力政不辍”。约在景定二年（2），病卒于任所，年0岁。

第二节对数学的贡献《数书九章》秦九韶恶劣的个人品行，与杰出的数学才能是不相称的。因此有人因他的数学成就而为其个人品行辩护，如清代数学家焦循在《天元一释》卷下说“秦九韶为周密所丑诋，至于不堪，而其书亦晦而复显。密以填词之才，实学非其所知。即所称与吴履斋交稔，为贾相窜于梅州，力政不辍，则秦之为人亦瑰奇有用之才也。”与此同时，也有人因他的恶劣人品而贬低其数学成就，如余嘉锡《南宋算学家秦九韶事迹考》中说他“虽能治天算，多技能，不过小人之才耳，何足道哉！”对秦九韶，也有较客观地评价“有才有学的人未必有德，我们读《数书九章》，不能不表扬秦九韶在数学方面的贡献，但是论他的为人，也应符合当时的历史实际。”《数书九章》，是秦九韶勤奋学习、苦心钻研和多年积累的数学成就的结晶，是堪与数学名著《九章算术》相媲美的。这部著作，南宋时称为《数学大略》或《数术大略》，明《永乐大典》和清《四库全书》皆题称《数学九章》。明季常熟赵氏脉望馆藏有另一抄本，万历时赵琦美为其撰写跋文始称《数书九章》。后来清道光时按赵抄本校刻的《宜稼堂丛书》本流传较广，遂成为现今的通称。该书共8卷，8题，分为9类，每类9题，主要内容是一、大衍类一次同余组的解法；二、天时类历法推算、雨雪量的计算；三、田域类土地面积；四、测望类勾股、重差等测量问题；五、赋役类田赋、户税；六、钱谷类征购米粮及仓储容积；七、营建类建筑工程；八、军旅类兵营布置和军需供应；九、市易类商品交易和利息计算。

每题答案之后都有“术”说明解题方法，“术”后有“草”说明演算步骤，钱宝琮《秦九韶〈数书九章〉研究》，载钱宝琮等著《宋元数学史论文集》，科学出版社9年版，第2页。

有的题目还画有图。《数书九章》中的两项最重要的成就是正负开方术（高次方程数值解法）和大衍求一术（一次同余组解法）。

在数学发展史上，古典代数学的中心课题是方程论。中国古代的方程论，不论是现代意义下的开方，还是解一般的高于二次的一元方程都被称为开方。从《周髀算经》、《九章算术》，到5世纪的祖冲之和7世纪的王孝通，已经解决了开平方、开立方，以及二次三项方程和正系数三次方程求正根问题。世纪，贾宪又创造了一种新的开方法——增乘开方法，通过随乘随加导出减根方程，逐步求出正系数高次方程的正根。2世纪，数学家刘益提出“正负开方术”，并突破了方程系数全都为正的限制。但刘益的方法并不是增乘开方法。秦九韶在前人工作的基础上，把以增乘开方法为主体的高次方程数值解法发展到十分完备的程度。他的方程系数可正可负，可为分数，也可为小数，在有理数范围内没有限制，但规定常数项总为负。亦即解决了形如下列的数字方程求解问题其中书九章》8个问题中，用