润相继对筛法、大筛法应用及哥德巴赫猜想的结果作出改进。陈景润于1966年证明了：每一充分大的偶数都是一个素数与一个不过两个素数之积之和。

2.体论。

若一个环k其每一元素关于乘法都有逆元素但对乘法来说是非交换的则k称为体。命o是体k到它自身的一个一一映射。如果o满足(a+b)o=ao+bo,(aba)o=aoboao,1o=1,则称o为半自同构。熟知的半自同构的例子为自同构：（ab）o=aobo与反自同构：（ab）o=boao。问除此之外还有无其他半自同构？华罗庚于1949年证明了：每一个半自同构或为自同构或为反自同构。

同年华罗庚还给下面结果一个初等证明：体的每一个真正规子体均包含在它的中心之中（h.嘉当（net）-r.d.布劳尔（brauer）-华氏定理）。.贝特曼（bateman）用莎翁名著《罗米欧与朱丽叶》中的诗句“没有一口井那么深也没有教堂门那么宽像茂丘西奥的伤口一样致命呀！”来赞扬华罗庚的一些结果。

195o年华罗庚还证明了体的乘法群的一个定理：体的乘法群不是亚阿贝尔群。

3.矩阵几何、自守函数、典型群论与多变数函数论。

华罗庚将这几个学科放在一起研究。他在这几方面的研究是密切相关的。将一个变数推广到多个变数往往无从下手以矩阵为变元则为特殊的多变数问题。这时代数工具可能使用一行一列的矩阵就是单变数又可以借用单变数时的结果做背景所以华罗庚研究的方法均重用矩阵运算从而形成了具有自己特色的开拓性工作。

1935年e.嘉当（net）证明了在解析映射下只有6类不可约、齐性、有界对称域其中两类是例外域维数分别是16与27其余4类称为典型域。典型域可以看作普通复平面上的单位圆在高维空间的类似。其重要性有如单位圆之于复平面其应用与影响又过多复变函数论。

华罗庚给出了4类典型域的运动群的矩阵表示算出s.伯格曼（bergman）核重新证明了3种类型的双曲空间的黎曼（riemann）曲率都是非正的从而推知其几何相当正规。这就导致华罗庚开拓了“矩阵几何学”这一领域。在矩阵几何中空间的点是某类矩阵其背景是典型域。华罗庚的目的在于在这些矩阵空间中推广复平面的几何基本定理——dt）定理：每一个将复平面映射到自身的保持调和分隔不变的拓扑变换必为直射变换或反直射变换。例如对复数域上的对称矩阵空间华罗庚证明了：一个连续的将对称矩阵映射为对称矩阵并保持算术距离不变的映射必为辛变换或反辛变换。

但怎样用尽量简单的几何不变量来刻划运动群呢？1951年华罗庚现“粘切”就够了所谓矩阵m与n粘切即m-n的秩为1。华罗庚还研究了基域是体的矩阵几何学。

1953年华罗庚用群表示论方法具体得出4类典型域的完整正交系这相当于在复平面上找到了完整正交系e（no）（n=o±1.）。借助于典型域的完整正交系华罗庚得出4类典型域的柯西（cauchy）核、赛格（szeg.）核与泊松（poisson）核。

辛群在华罗庚的自守函数论与矩阵几何的研究中都很重要。很自然地他会研究辛群的自同构问题。1946年华罗庚表了他确定辛群自同构的文章。这是他研究典型群的开端。以后的一系列工作形成了他研究典型群论的独特方法即先解决尽可能低维的问题再用数学归纳法推广到高维。华罗庚处理典型群自同构问题的方法很初等即着重矩阵运算。

华罗庚在这方面的工作由万哲先、6启铿与龚昇继续着得到了展与应用。

4.应用数学。

从1959年开始华罗庚与王元合写了一系列论文研究了在近似分析中如何用基于数论思想的可计算与决定性方法来尽可能取代统计实验的蒙特卡罗（montecar1o）方法的问题。他们的方法的要点为用一组独立单位或线性递推公式来构造一个代数数域的整底的联立有理逼近从而定出高维单位立方体的一致分布点列并得出其偏差估计。一致分布点列可以代替蒙特卡罗方法中的随机数故又称为伪随机数。例如设｛fn｝表示l.斐波那契（i）数列即由递推公式fo=o,f1=1,fn+1=fn+fn-1(n≥1)定义的整数列。假定（）的导数及其低维导数均囿于且每fxynetbsp;2fxyxy(,)个变数均有周期1则得fxydxdyffkffkfnet(,)(,)1og——=.oo111o1o12≤这是臻于至善的估计。

华罗庚还对“统筹法”即netbsp;与“优选法”亦即j.基弗（kiefer）的“黄金分割法”与“斐波那契法”作了简化并在中国工业部门作了广泛的普及与使用。

华罗庚的主要论著有《堆垒素数论》、《数论导引》、《多复变数函数论中的典型域的调和分析》、《指数和的估计及其在数论中的应用》、《典型群》（与万哲先合作）、《高等数学引论》、《数论在近似分析中的应用》（与王元合作）、《二阶两个自变数两个未知函数的常系数线性偏微分方程组》、《优选学》、《华罗庚科普著作选集》、《hualoo—kengse1enetger—ver-1ag1983）。

华罗庚一生都是在磨难中挣扎。他常说他的一生中曾遭遇三大劫难。先是在他童年时家贫失学患重病腿残废。第二次劫难是抗日战争期间孤立闭塞资料图书缺乏。第三次劫难是“文化大革命”家被查抄手稿散失禁止他去图书馆将他的助手与学生分配到外地等。在这样恶劣的环境下要坚持工作做出成就需付出何等努力需怎样坚强的毅力是可想而知的。

早在四十年代华罗庚已是世界数论界的领袖数学家之一但他不满足不停步宁肯另起炉灶离开数论去研究他不熟悉的代数与复分析这又需要何等的毅力与勇气！

华罗庚善于用几句形象化的语言将深刻的道理说出来这些话言简意深富于哲理令人难忘。早在五十年代他就提出：“天才在于积累聪明在于勤奋。”华罗庚虽然聪明过人但从不提及自己的天分而把比聪明重要得多的“勤奋”与“积累”作为成功的钥匙反复教育年轻人要他们学数学做到“拳不离手曲不离口”经常锻炼自己。五十年代中期针对当时数学研究所有些青年做出一些成果后产生自满情绪或在同一水平上不断写论文的倾向华罗庚及时提出：“要有度还要有加度”。所谓“度”就是要出成果所谓“加度”就是成果的质量要不断提高。“文化大革命”刚结束时一些人特别是青年人受到不良社会风气的影响而某些部门也急于求成频繁地要求报成绩、评奖金等采取了一些不符合科学规律的做法这导致了学风败坏突出